La metamatemática de Hilbert

Veíamos en el anterior post de esta serie cómo empezó a cobrar actualidad el problema de la consistencia axiomática. Comentábamos también que el sistema axiomático euclidiano tenía validez porque se apoyaba en la realidad de las cosas, es decir, que la veracidad o falsedad de sus proposiciones venía dada por su confrontación con la realidad a la que se referían. Hoy vamos a dar un paso más, porque si nos damos cuenta al hablar en estos términos del sistema de Euclides estamos hablando de dos cosas diferentes. Porque un sistema axiomático puede estar ajustado a la realidad (hasta la fecha), pero no por ello ser necesariamente un sistema consistente. ¿Es lícito fundamentar la consistencia de un sistema axiomático —en este caso el euclidiano— en el hecho de que la realidad de las cosas se corresponda con la veracidad de sus postulados? Si para el individuo de a pie la respuesta probablemente sería afirmativa, para el matemático con toda seguridad será negativa.

Es en la modernidad cuando surge este problema, el de la consistencia o no del sistema axiomático de Euclides. ¿Es suficiente argumentar su consistencia por su correlato con la realidad, o cuanto menos con nuestra experiencia de ella? Como es fácil suponer, desde un punto de vista lógico-matemático no, pues si bien aunque todo lo observado hasta ahora concuerde con el sistema euclidiano, nada impide que una futura observación entre en contradicción con él. Habría, pues, que demostrar matemáticamente dicha consistencia, pues las consideraciones inductivas (es decir, su confrontación con la realidad) sólo pueden mostrar que los axiomas son plausibles y probablemente verdaderos… hasta ahora, pero nada asegura que lo sigan siendo en un futuro.

Y esto, ¿cómo se demuestra? El problema fundamental con el que se encuentra la demostración de la consistencia es el hecho de que de cada sistema axiomático puede dar lugar a un número infinito de deducciones; ¿cómo podemos saber que todas esas deducciones, de las cuales la mayoría aún no sabemos cuáles son, van a ser verdaderas? En principio es difícil, pero hasta que no se pueda demostrar eso, la consistencia de los axiomas estará puesta entre paréntesis. Claro, si acudiéramos a sistemas que proporcionaran un número finito de deducciones la cosa sería más fácil, pero esto sólo es posible en casos concretos y muy reducidos: lo normal es que los modelos adoptados sean infinitos, con la problematicidad que lleva aparejada su no-finitud:

«Los modelos finitos son suficientes, en principio, para establecer la consistencia de un cierto grupo de postulados. Pero éstos son de pequeña importancia matemática. Los modelos no-finitos, necesarios para la interpretación de la mayoría de los sistemas importantes de postulados de las matemáticas, sólo pueden ser descritos en términos generales; y no podemos concluir, como cosa natural, que las descripciones estén exentas de contradicciones ocultas», contradicciones denominadas antinomias.

Dado que los métodos no-finitos utilizados al modo clásico también podían dar lugar a inconsistencias (como el propio sistema de Euclides), surgieron dudas sobre la consistencia de distintos sistemas matemáticos sobre los cuales en general no había caído nunca ninguna sospecha. Era preciso buscar otros métodos que dieran fiabilidad total a este problema, métodos denominados absolutos. Los esfuerzos de los matemáticos fueron encaminados entonces hacia la definición de pruebas absolutas de consistencia.

El primer paso firme que se dio para establecer la consistencia de sistemas sin apelar a la consistencia de otro sistema fue el dado por Hilbert, cuya línea de trabajo fue la total formalización de un sistema deductivo. Ello quiere decir que había que reducir los elementos utilizados en el sistema como meros signos, sin ningún significado que vaya más allá que el que se le ha otorgado en dicho sistema; los signos, fuera de su contexto, son meros signos vacíos, y los modos en que se combinen deben seguir unas pautas y reglas establecidas con total precisión. Esto que parece tan sencillo, fue una idea original y novedosa. Démonos cuenta de la violencia que genera para la forma de pensar común, pues supone abstraernos del correlato que dichos signos y reglas tuvieran con la realidad para atenernos a su significado estricto dentro del sistema en que se definen.

Lo fácil para nosotros es sumar manzanas, o multiplicar caramelos; lo difícil es no pensarlo así para atender únicamente al significado lógico-matemático de una operación. Pero de este modo, las tramas deductivas en un sistema formal son meras sucesiones de enunciados, seguidos unos de otros mediante procesos ajustados a reglas definidas, generando así elementos más complejos partiendo de elementos más simples. Y no necesariamente han de tener su correlato con lo real. «Cuando un sistema ha sido completamente formalizado, la derivación de teoremas a partir de postulados no es más que la transformación (conforme a la regla) de una serie de estas ‘cadenas’ (de signos) en otra serie de ‘cadenas’». Una serie de estas cadenas en principio no afirma ni niega nada sobre el mundo, sino que es simplemente un ‘razonamiento’ abstracto y formal que siguen unos elementos según unas reglas, todo ello previamente establecido.

Ahora bien, aquí se introduce un concepto que luego hizo fortuna también en otros ámbitos, y que es el meollo de la cuestión. Una cosa es toda esta sucesión de signos y deducciones abstractas que podamos pensar, y otra muy distinta es lo que se pueda decir acerca de ellas; son dos cosas totalmente distintas. Y, si nos fijamos, todo este conjunto de afirmaciones o comentarios sobre los elementos de este sistema formal, claramente escapan al propio sistema formal, pertenecen a otro ámbito. ¿Cuál es ese otro ámbito? El que Hilbert denominó meta-matemáticas. Lo perteneciente a las meta-matemáticas no son estrictamente (formalmente) matemáticas sino aquello que se dice sobre ellas: es la diferencia entre el ‘contenido que se estudia’ y el ‘discurso acerca de ese contenido’.