El problema de la consistencia axiomática

El problema de la consistencia de un sistema axiomático se convirtió durante los siglos XIX y XX en un problema relevante, dado el distanciamiento de la realidad que padecieron las matemáticas; o mejor, la lógica, o los sistemas lógicos. ¿Qué es lo que se pretende con las matemáticas? Pues tratar de describir de un modo riguroso y preciso los procesos que se dan en la naturaleza, en el universo; y, en el desarrollo y despliegue de tal empresa, las matemáticas han ido complicándose, naciendo nuevas disciplinas, etc., todo ello con la finalidad de describir más y mejor la realidad. De hecho, el desarrollo de nuevas herramientas matemáticas nos ha permitido aproximarnos con mayor rigurosidad a los procesos de la materia. ¿Y qué es lo que se pretende con la lógica? Pues dar un mayor rigor a los cálculos matemáticos, formalizándolos, introduciéndolos en un marco formal en el seno del cual se alcance un rigor en principio superior al de la mera matemática (asunto que es discutible). Con la complicación de las matemáticas, su correlato intuitivo la realidad disminuye, algo que en los sistemas formales también se da, quizá en mayor grado, tal y como expuse en un post anterior. Y esto es algo que a cualquier persona de a pie nos chirría, nos genera violencia, pues entendemos que ese correlato con la realidad ha de estar ahí; de hecho, en el primero sistema axiomático serio (la geometría euclidiana) estaba muy presente; pero con el tiempo, dicho correlato se puso en entredicho, o sea, que dejó de considerarse imprescindible. A partir del siglo XX se produce este giro formal, en el seno del cual el cálculo deja de ser reconocible intuitivamente para pasar a convertirse en un entramado de fórmulas y ecuaciones que para el no matemático supone un auténtico galimatías. Cualquier parecido con la realidad de las cosas es pura coincidencia.

Tanto es así que incluso Hilbert afirmó que cuando empleamos ciertos términos en un entramado matemático que poseen un significado correlativo en el habla común (como por ejemplo el término 'punto', o el de 'línea') debemos abstraer esas connotaciones usuales, y sólo debemos atender los significados que poseen tal y como los definen los axiomas en que se incardinan. Es decir, cuando usamos el término 'punto' en un sistema axiomático determinado, no necesariamente ha de significar lo que nosotros entendemos por 'punto', sino que ahí 'punto' significará lo que se haya definido en tal sistema. Desde luego que este nivel de abstracción no es fácil de adquirir (supongo que sólo lo poseerán los matemáticos profesionales o unos pocos privilegiados más), pero de lo que no cabe duda es de las posibilidades abiertas de este nuevo modo de trabajar. Fruto de todo ello se crearon nuevos sistemas algebraicos y geométricos, que como digo escapan por completo a la comprensión cotidiana. Pero ello no era un problema para el lógico, pues mientras el sistema de axiomas fuera adecuado (independientemente de que no fuera intuitivamente evidente), todo el edificio posterior construido a base de ladrillos-teoremas sería correcto, siempre que éstos fueran alcanzados mediante la metodología matemática adecuda. A todo esto se refería Russell cuando afirmaba que «la matemática pura constituye aquel tema en el cual no sabemos de qué hablamos, o si lo que decimos es verdadero».

Ahora bien, la cuestión consecuente es evidente: nosotros podemos afirmar que los teoremas derivados del sistema axiomático inicial, siempre que lo hayamos hecho siguiendo una lógica adecuada, son verdaderos en ese sistema axiomático, pero... ¿qué decir del conjunto de axiomas?, ¿cómo podemos saber que ese conjunto de axiomas, que ya no son intuitivos, son adecuados, y no son en cambio un embrollo mental, o un error? Ahora ya no nos vale apoyarnos en su correlato con la realidad, porque ya sabemos que éste no se da. Nos encontramos, pues, con un conjunto de axiomas que no tienen su correlato con la realidad, que era lo que en un principio nos servía de contraste para saber que los axiomas que habíamos escogido eran adecuados o no. ¿Cómo saber que ese sistema axiomático está bien elegido, cuando no tenemos ese correlato con la realidad?, ¿cómo saber que ese conjunto de axiomas es adecuado? Evidentemente, esta pregunta no es baladí, pues de ello dependerá que todos los teoremas que se deduzcan de ese conjunto axiomático sean coherentes, no contradictorios, etc.

Pues bien, éste es en definitiva el problema de la consistencia. Mientras se podía contar con el correlato de la realidad (tal y como acontecía en la geometría euclidiana) no había problema, en el sentido de que era la realidad misma la que nos servía de correctivo o de 'chivato' de nuestro edificio matemático, cuanto menos de nuestro sistema axiomático. Pero si ahora no nos podemos apoyar en la realidad para determinar la consistencia de los axiomas, ¿en qué nos podemos apoyar? Para las geometrías no-euclidianas este problema es fundamental, y un problema ciertamente difícil y complejo de resolver.

Para solucionarlo se adoptó una maniobra similar a la forma de actuar con el sistema euclidiano. Decíamos que la geometría euclidiana podía apoyarse en su confrontación con la realidad de las cosas; la realidad se erigía así como en una especie de modelo el cual servía de orientación para el avance investigador y a la vez servía de confrontación para saber de su verdad o falsedad. Pues bien, los matemáticos idearon para estos nuevos sistemas otro modelo que hiciera las veces que hacía la realidad para la geometría euclidiana, de modo que cada postulado tenía que convertirse en una afirmación verdadera (o falsa) en referencia (en contraste) a ese modelo elegido. Un ejemplo claro es el de la geometría de Riemann; esta geometría adopta como postulado que no se puede trazar una paralela a otra línea por un punto exterior a ella. ¿Cómo puede ser eso? Pues modificando nuestra idea de superficie: nosotros estamos acostumbrados a hablar de superficie en términos planos (como el suelo), pero podemos pasar a hablar de superficie en términos de una esfera euclidiana, por ejemplo. El 'modelo' de superficie fue modificado, y fue el que a partir de entonces sirvió de criterio para elaborar esa otra forma de pensar.