El giro formal de las matemáticas

Es sabido que la lógica es una disciplina deductiva; es decir, partiendo de unos primeros postulados considerados indemostrables y evidentes (los axiomas), se derivan toda una serie de proposiciones (los teoremas) que vienen constituir el sistema global. Este modo de trabajar se conoce también como método axiomático (a diferencia del método científico o empírico). La verdad es que llama la atención la poderosa capacidad de despliegue que posee la razón (lógica) partiendo de ese pequeño número inicial de postulados o axiomas, un despliegue que puede ser considerado como infinito. Lo cual puede hacernos pensar ―junto con Raguní― hasta qué punto podemos estar seguros de la corrección de todo el ejercicio lógico.

Los seres humanos de a pie, no versados en cuestiones matemáticas, no podemos dejar de cuestionarnos qué ha ocurrido con toda esa evolución que ha dado esta disciplina a lo largo del siglo XIX y comienzos del XX, con el surgimiento de esos otros modos de hacer matemática, de esos otros modelos cuyo parecido con aquello que nos rodea (ya digo, para el ciudadano común) es más bien escaso, por no decir nulo. Da la impresión de que no dejan de construirse sistemas matemáticos como una especie de divagaciones de la razón, pero que poco tienen que ver con la realidad de las cosas, con nuestro mundo. Pero, ¿es efectivamente así? No vaya a ser que dichos modelos ‘incomprensibles’ sean nuevos modos de entender la realidad, abriéndonos nuevas perspectivas y nuevos enfoques. Pues bien, una explicación muy interesante (y sencilla, menos mal) de cómo se fue fraguando este giro formal en la matemática reciente la he encontrado en un texto en el que Nagel y Newman explican el teorema de Gödel (que recomiendo a cualquier interesado).

La conexión con la realidad era la piedra de toque de las matemáticas clásicas. Y es nuestro modo familiar de entenderlas. El asunto pasa por una crítica que los lógicos lanzaron contra la matemática que, para comprenderla, conviene clarificar la diferencia entre ambas disciplinas. Lo que trata de hacer la matemática es describir mediante su metodología propia sucesos o procesos que se dan en la realidad, un lenguaje que se va construyendo y perfeccionando poco a poco; por su parte, un sistema lógico es un sistema en el que, partiendo de unos axiomas y de unas reglas, se enuncian distintos teoremas, etc. Ya hablaremos de ello con más detalle. En la historia, ambos modos de ‘decir’ la realidad (el matemático y el lógico) estaban presentes; un ejemplo del segundo es el sistema euclidiano, en el que el correlato con la realidad estaba presente: en él, todos los teoremas deducidos de los axiomas eran verdaderos, no sólo porque eran lógicamente deducidos sino también porque se correspondían con la realidad de las cosas; y si se correspondían con la realidad de las cosas era a su vez porque los axiomas considerados como verdaderos de los que partían, aunque no derivaran de otros postulados anteriores (pues ellos eran los axiomas), coincidían también con nuestra percepción de la realidad.

Sin embargo, el siglo XIX dio paso a otro modo de entender esta relación entre matemáticas y lógica. En esta época se produjo un desarrollo considerable de la investigación. Y fue entonces cuando ocurrió un hecho curioso, como es la demostración de la imposibilidad matemática de resolver los tres grandes problemas geométricos que nos legaron los griegos. Estos tres grandes problemas eran trisecar un ángulo con compás y regla, hacer un cubo de doble volumen a otro dado, y hacer un cuadrado de área igual a un círculo dado. Hasta entonces estaban sin resolver, agotando los recursos y la paciencia de no pocos estudiosos; pero no fue hasta entonces que se demostró la imposibilidad de encontrar dichas soluciones. Hasta ese momento estaban sin resolver, pero se mantenía la esperanza de su resolución; pero a partir de entonces ‘ya se sabía’ que no tenían solución. Lo relevante de todo esto no fue esa demostración, sino que todos los esfuerzos realizados en su estudio tuvieron el precipitado de desarrollar nuevas parcelas de la matemática hasta entonces inexploradas (como son las de los números negativos, irracionales y complejos, o las series infinitas…). Y también la que quizá fuera más importante: la topología.

Pero aun así todo este desarrollo supuso un giro en las matemáticas en un doble sentido, a cada cual más importante. Por un lado, por el hecho de demostrar la imposibilidad de demostrar algo (idea por otra parte que se nos antoja cuanto menos paradójica y difícil de digerir, por lo menos para un servidor). Y por otro lado, por el hecho de surgir como consecuencia de todo ello otros modos de hacer matemática distintos del modo clásico: comenzó a pensarse en hacer geometría partiendo de un conjunto de axiomas distintos a los de Euclides, y que no fueran dependientes de ellos, es decir, que no pudieran a su vez ser deducidos de ellos.

Y aquí se produce el giro que comentaba más arriba: ahora ya no era necesario que el conjunto axiomático de partida fuera evidente intuitivamente. Es más, la labor del matemático ya no era tanto cuestionar la verdad o no de los axiomas (en el sentido de su correlato con la realidad) como el hecho de derivar los teoremas pertinentes a partir de aquéllos. A partir de entonces ya no fue evidente la relación (tan común y obvia para todos nosotros) entre matemáticas y realidad. Las matemáticas ya no tenían que estar vinculadas a la realidad de las cosas, tal y como podemos pensar cualquiera de nosotros, ya no es la ciencia de las cantidades o la ciencia de los números, sino que pasó a ser «la disciplina por excelencia que deriva las conclusiones lógicamente implicadas en cualquier grupo dado de axiomas o de postulados». Así, comenzó a pensarse en un modo nuevo de hacer matemática, que no es otro que el de ‘logicizarla’, es decir, a revestirla de un sistema lógico, a dotarle de todo el rigor lógico de los sistemas axiomáticos. El paso hacia la matemática formal estaba dado: ya no importaba tanto la verdad de las deducciones como su consistencia interna, su consistencia lógica interna:

«El único problema que el matemático tiene que afrontar (a diferencia del hombre de ciencia que emplea las matemáticas para investigar un campo especial) no es el de saber si los postulados que asume o las conclusiones que deduce de ellos son verdaderos, sino si las conclusiones expuestas son, de hecho, las consecuencias lógicas necesarias de las hipótesis iniciales».