El número áureo y Ptolomeo

El número áureo es un número que presenta un atractivo estético ya descubierto en la antigüedad, y que expresa una relación armónica entre distintas partes de una obra de arte que le dota de un atractivo singular; atractivo del que participan también diferentes elementos naturales (como por ejemplo aquellos que responden a la conocida sucesión de Fibonacci —serie muy curiosa, por cierto— como ciertas figuras espirales). A pesar de que es un número peculiar, su descubrimiento no es tanto fruto de una investigación aritmética como por la relación o proporción que establece entre las partes a las que se refiere. Histórica y estéticamente se constata que cuando un elemento está dividido en partes que responden a una proporción áurea, su contemplación resulta agradable y equilibrada.

Pero a lo que me quiero acercar en este post es a hablar un poco de sus curiosidades geométricas más que de su relevancia estética. Su origen hay que situarlo en la búsqueda de la armonía del Universo, vista de modo singular por el mundo pitagórico en términos numéricos, y desde intereses no tanto científicos como sobre todo espirituales. Que la armonía era un elemento ineludible y necesario del cosmos era compartido por todos; pero que su fundamento, que el principio del Universo fuera establecido en un elemento no material a diferencia de lo que hicieron hasta entonces los jónicos (esto es, en lo numérico) fue algo original de los pitagóricos allá en la antigua Grecia.

Todo ello tuvo repercusiones en el ámbito estético: si el universo se caracterizaba por lo armónico y armonioso, la belleza tendría que ver a su vez con dicha armonía entendida como algún modo de proporción matemática. Esta armonía matemática se manifestaba maravillosamente en los sonidos producidos por las vibraciones de una cuerda la cual, en función de las distintas longitudes, podía emitir sonidos tónicos; pero no sólo en ella (en la música), ya que también la belleza de las obras artísticas plásticas (pintura, escultura e incluso arquitectura) tendrá que ver con ella (con la armonía). Según parece fue Fidias el primer artista que utilizó esto de modo más sistemático, y de ahí que al número áureo se le conozca con la letra griega φ (fi).

¿Cómo se define? El número áureo indica la proporción según la cual un segmento queda dividido armónicamente; esto es, cómo aquel número que divide un segmento en dos partes de modo que la relación entre la parte mayor y la menor es análoga a la de la totalidad del segmento respecto a la parte mayor.

¿Cómo se calcula su valor? Supongamos que tenemos un segmento que dividimos en dos partes a y b, de modo que el segmento total medirá a+b:

Decíamos que las razones entre los dos segmentos que hemos dividido (entre el mayor y el menor) y entre el segmento total y el mayor deben coincidir, ya que ésa es la definición del número áureo como tal. Entonces,

 De dónde resulta que:

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

Si desestimamos el valor negativo, resulta que el número áureo toma el valor de:

Partiendo del número áureo, podemos hablar por ejemplo de rectángulo áureo (o sección áurea), aquél que sus lados presentan la proporción φ:

¿Y qué tiene que ver con todo esto Ptolomeo? Pues bastante. De hecho esto ha sido lo que me ha llevado a escribir este post (cuando leí otro del blog Chapuzas matemáticas). Ptolomeo propuso el siguiente teorema (cuya demostración si interesa se puede ver en dicho blog): sea un cuadrilátero cualquiera inscrito en una circunferencia; entonces el producto de sus diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos. O sea:

Lo curioso del caso es que, si en vez de un cuadrilátero cualquiera tenemos un rectángulo, el teorema de Ptolomeo se transforma en… ¡el teorema de Pitágoras!

Y lo que es todavía más curioso. Podemos identificar el número áureo a partir de un pentágono de lado igual a la unidad inscrito en una circunferencia. Si tenemos un pentágono (de lado = 1) inscrito en una circunferencia, hallemos lo que mide su diagonal.

Si nos fijamos en el cuadrilátero marcado en rojo, veremos que su lado superior equivale a una diagonal del pentágono, y su lado inferior y sus dos lados laterales valen la unidad ya que coinciden con lados del polígono. Si le aplicamos el teorema de Ptolomeo para calcular la diagonal (en azul) del cuadrilátero (y que coincidirá con la diagonal del pentágono) tenemos:

Ecuación que nos es familiar y cuyo resultado es precisamente,

O sea, φ: la diagonal de un pentágono de lado la unidad es igual al número áureo. Y a lo que iba: si dibujamos todas las diagonales del pentágono nos sale una estrella que ha servido de base para no pocas obras de arte:

Por ejemplo, en esta obra de Salvador Dalí: “Leda atómica”

Como se puede ver en la siguiente ilustración:

En fin, este es un ejemplo de su aplicación artística. Hay muchos más, así como de la sección áurea, etc. Pero me quedo con el gusanillo de la sucesión de Fibonacci. Tiempo al tiempo.